文章目录
关于常数的积分关于
1
x
\frac{1}{x}
x1 的积分关于
1
x
\frac{1}{\sqrt{x}}
x
1 的积分关于
x
n
x^n
xn 的积分关于
a
x
a^x
ax 的积分关于 e 的积分关于
x
x
x 的函数
u
\mathbf{u}
u、
v
\mathbf{v}
v 的积分关于三角函数的积分正弦函数
sin
\sin
sin 的积分余弦函数
cos
\cos
cos 的积分正切函数
tan
\tan
tan 的积分余切函数
cot
\cot
cot 的积分「
tan
−
1
\tan^{-1}
tan−1」正割函数
sec
\sec
sec 的积分「
cos
−
1
\cos^{-1}
cos−1 」余割函数
csc
\csc
csc 的积分「
sin
−
1
\sin^{-1}
sin−1」
微积分公式有很多，这里只是罗列常用的（主要是「同济高数」里常用到的部分）。一般来说，积分公式最终表现为
∫
u
d
x
=
v
+
C
\int \mathbf{u} dx = \mathbf{v} + C
∫udx=v+C
的形式。但是在最终计算最后一步时，
[
v
+
C
]
∣
a
b
=
v
[\mathbf{v} + C] \left |_a^b \right . = v
[v+C]∣∣ab=v C往往会被消掉，所以可以在求积分时，可以不写C。
尽管我这里提供了相对完整的 资料，如果你是工程或科研需要，建议还是买一本中科大出版的《常用积分表》，或者利用在线积分计算工具来帮助你比较好。
另外很多稍复杂的微积分公式，多是从简单积分公式出发，然后依靠换元和链式法则求解，有兴趣的朋友可以自行尝试验证。
关于常数的积分
∫
a
d
x
=
a
x
\int a dx = ax
∫adx=ax
关于
1
x
\frac{1}{x}
x1 的积分
∫
1
x
d
x
=
ln
∣
x
∣
\int \frac{1}{x} dx = \ln |x|
∫x1dx=ln∣x∣
∫
1
1
+
x
2
d
x
=
arctan
x
\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan x
∫1+x21dx=arctanx
∫
1
a
x
+
b
d
x
=
1
a
ln
∣
a
x
+
b
∣
\int \frac{1}{ax + b} dx = \frac{1}{a} \ln |ax + b|
∫ax+b1dx=a1ln∣ax+b∣
∫
1
x
2
+
a
2
d
x
=
1
a
arctan
x
a
\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}
∫x2+a21dx=a1arctanax
∫
1
x
2
−
a
2
d
x
=
1
2
a
ln
∣
x
−
a
x
+
a
∣
\int \frac{1}{x^2 - a^2} dx = \frac{1}{2a} \ln \left | \frac{x -a }{x + a} \right |
∫x2−a21dx=2a1ln∣∣∣∣x+ax−a∣∣∣∣
∫
1
(
x
+
a
)
(
x
+
b
)
d
x
=
1
b
−
a
ln
a
+
x
b
+
x
\int \frac{1}{(x + a)(x + b)} dx = \frac{1}{b - a} \ln \frac{a + x}{b + x}
∫(x+a)(x+b)1dx=b−a1lnb+xa+x
关于
1
x
\frac{1}{\sqrt{x}}
x
1 的积分
∫
1
1
−
x
2
d
x
=
arcsin
x
\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin x
∫1−x2
1dx=arcsinx
∫
1
x
2
±
a
2
d
x
=
ln
∣
x
+
x
2
±
a
2
∣
\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} dx = \ln \left | x + \sqrt{x^2 \pm a^2} \right |
∫x2±a2
1dx=ln∣∣∣x+x2±a2
∣∣∣
∫
1
a
2
−
x
2
d
x
=
arcsin
x
a
\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a}
∫a2−x2
1dx=arcsinax
关于
x
n
x^n
xn 的积分
∫
x
n
d
x
=
x
(
n
+
1
)
n
+
1
\int x^n dx = \frac{x^{(n+1)}}{n+1}
∫xndx=n+1x(n+1)
∫
a
x
n
d
x
=
a
x
(
n
+
1
)
n
+
1
\int ax^{n} dx = \frac{ax^{(n+1)}}{n + 1}
∫axndx=n+1ax(n+1)
关于
a
x
a^x
ax 的积分
∫
a
x
d
x
=
a
x
ln
a
\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}
∫axdx=lnaax
∫
b
a
x
d
x
=
b
a
x
a
ln
b
\int b^{ax} dx = \frac{b^{ax}}{a \ln b}
∫baxdx=alnbbax
关于 e 的积分
∫
e
x
d
x
=
e
x
\int e^x dx = e^x
∫exdx=ex
∫
x
e
x
d
x
=
(
x
−
1
)
e
x
\int x e^{x} dx = (x -1) e^x
∫xexdx=(x−1)ex
∫
e
a
x
d
x
=
e
a
x
a
\int e^{ax} dx = \frac{e^{ax}}{a}
∫eaxdx=aeax
∫
x
e
a
x
d
x
=
(
x
a
−
1
a
2
)
e
a
x
\int x e^{ax} dx = (\frac{x}{a} - \frac{1}{a^2}) e^{ax}
∫xeaxdx=(ax−a21)eax
∫
x
n
e
a
x
d
x
=
x
n
e
a
x
a
−
n
a
∫
x
(
n
−
1
)
e
a
x
d
x
\int x^n e^{ax} dx = \frac{x^n e^{ax}}{a} - \frac{n}{a} \int x^{(n-1)} e^{ax} dx
∫xneaxdx=axneax−an∫x(n−1)eaxdx
关于
x
x
x 的函数
u
\mathbf{u}
u、
v
\mathbf{v}
v 的积分
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
\int \mathbf{u} d \mathbf{v} = \mathbf{uv} - \int \mathbf{v} d \mathbf{u}
∫udv=uv−∫vdu
∫
(
u
+
v
)
d
x
=
∫
u
d
x
+
∫
v
d
x
\int (\mathbf{u} + \mathbf{v}) dx = \int \mathbf{u} dx + \int \mathbf{v} dx
∫(u+v)dx=∫udx+∫vdx
关于三角函数的积分
正弦函数
sin
\sin
sin 的积分
∫
sin
x
d
x
=
−
cos
x
\int \sin x dx = - \cos x
∫sinxdx=−cosx
∫
sin
a
x
d
x
=
−
1
a
cos
a
x
\int \sin ax dx = - \frac{1}{a} \cos ax
∫sinaxdx=−a1cosax
∫
sin
2
a
x
d
x
=
x
2
−
sin
2
a
x
4
a
\int \sin^2 ax dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2a x}{4a}
∫sin2axdx=2x−4asin2ax
余弦函数
cos
\cos
cos 的积分
∫
cos
x
d
x
=
sin
x
\int \cos x dx = \sin x
∫cosxdx=sinx
∫
cos
a
x
d
x
=
1
a
sin
a
x
\int \cos ax dx = \frac{1}{a} \sin ax
∫cosaxdx=a1sinax
∫
cos
2
a
x
d
x
=
x
2
+
s
i
n
2
a
x
4
a
\int \cos^2 axdx = \frac{x}{2} + \frac{sin 2ax}{4a}
∫cos2axdx=2x+4asin2ax
正切函数
tan
\tan
tan 的积分
∫
tan
x
d
x
=
−
ln
∣
cos
x
∣
\int \tan x dx = - \ln |\cos x|
∫tanxdx=−ln∣cosx∣
余切函数
cot
\cot
cot 的积分「
tan
−
1
\tan^{-1}
tan−1」
∫
cot
x
d
x
=
ln
∣
sin
x
∣
\int \cot x dx = \ln |\sin x|
∫cotxdx=ln∣sinx∣
正割函数
sec
\sec
sec 的积分「
cos
−
1
\cos^{-1}
cos−1 」
∫
sec
x
d
x
=
ln
∣
sec
x
+
tan
x
∣
\int \sec xdx = \ln |\sec x + \tan x|
∫secxdx=ln∣secx+tanx∣
∫
sec
2
x
d
x
=
tan
x
\int \sec^2 x dx = \tan x
∫sec2xdx=tanx
余割函数
csc
\csc
csc 的积分「
sin
−
1
\sin^{-1}
sin−1」
∫
csc
x
d
x
=
ln
∣
csc
x
−
cot
x
∣
\int \csc xdx = \ln |\csc x - \cot x|
∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣
∫
csc
2
x
d
x
=
−
cot
x
\int \csc^2 x dx = -\cot x
∫csc2xdx=−cotx